Question

14．在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，利用等腰三角形的性质可得OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，可得OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空间直角坐标系．又AB⊥AD，可得DB=$\sqrt{2}$，取OB中点N，连结MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∴$CM=\sqrt{M{N}^{2}+M{N}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，
∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．
又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．
又AB⊥AD，∴DB=$\sqrt{2}$．
取OB中点N，连结MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．
∵MN²=ON²+OC²，
∴$CM=\sqrt{M{N}^{2}+M{N}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C，

点评 本题考查了空间线面位置关系、向量夹角公式、等腰三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．