Question

17．已知复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，模长为2，$\overline{z}$是z的共轭复数，则$\frac{1+\sqrt{3}i}{\overline{z}}$的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+i}{2}$
• B． -$\sqrt{3}$-i
• C． -$\sqrt{3}$+i
• D． -$\frac{\sqrt{3}+i}{2}$

Answer 1

分析 由复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，模长为2，可求出a的值，得到复数z，再求出$\overline{z}$，然后代入$\frac{1+\sqrt{3}i}{\overline{z}}$，由复数代数形式的乘除运算化简计算可得答案．

解答 解：∵复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，
则复数z=a+i．
又模长为2，∴$\sqrt{{a}^{2}+1}=2$，解得a=$-\sqrt{3}$．
∴z=$-\sqrt{3}+i$，$\overline{z}=-\sqrt{3}-i$．
则$\frac{1+\sqrt{3}i}{\overline{z}}$=$\frac{1+\sqrt{3}i}{-\sqrt{3}-i}=\frac{（1+\sqrt{3}i）（-\sqrt{3}+i）}{（-\sqrt{3}-i）（-\sqrt{3}+i）}$=$\frac{-2\sqrt{3}-2i}{4}=-\frac{\sqrt{3}+i}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．