Question

9．如图，在平行六面体A₁C中，AD=AB=AA₁=4，∠A₁AB=60°，∠BAD=90°，∠A₁AD=120°，cos∠A₁AC=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 运用向量的三角形法则和向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，结合勾股定理的逆定理，计算即可得到所求余弦值．

解答 解：在平行六面体A₁C中，AD=AB=AA₁=4，∠A₁AB=60°，
∠BAD=90°，∠A₁AD=120°，
可得|$\overrightarrow{{A}_{1}C}$|²=|$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\overrightarrow{AC}$|²=|$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$|²=|$\overrightarrow{{A}_{1}A}$|²+|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AD}$|²+2$\overrightarrow{{A}_{1}A}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{{A}_{1}A}$•$\overrightarrow{AD}$
=16+16+16+2×4×4×cos60°+2×4×4×cos90°+2×4×4×cos120°
=48+16+0-16=48，
又|$\overrightarrow{AC}$|²=|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AD}$|²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=16+16+0=32，
|$\overrightarrow{{A}_{1}A}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²=16+32=48=|$\overrightarrow{{A}_{1}C}$|²，
即为$\overrightarrow{{A}_{1}A}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
可得cos∠A₁AC=0．
故选：C．

点评 本题考查角的余弦值的求法，注意运用向量法，以及向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查勾股定理的逆定理，以及运算能力，属于中档题．