Question

9．若存在常数k（k∈N^*，k≥2）、d、t（d，t∈R），使得无穷数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+d，\frac{n}{k}{∉N}^{*}}\\{{ta}_{n}，\frac{n}{k}{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，则称数列{a_n}为“段差比数列”，其中常数k、d、t分别叫做段长、段差、段比，设数列{b_n}为“段差比数列”．
（1）已知{b_n}的首项、段长、段差、段比分别为1、2、d、t，若{b_n}是等比数列，求d、t的值；
（2）已知{b_n}的首项、段长、段差、段比分别为1、3、3、1，其前3n项和为S_3n，若不等式${S}_{3n}≤λ{•3}^{n-1}$对n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在首项为b，段差为d（d≠0）的“段差比数列”{b_n}，对任意正整数n都有b_n+6=b_n．若存在，写出所有满足条件的{b_n}的段长k和段比t组成的有序数组（k，t）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）{b_n}的前4项依次为1，1+d，t（1+d），t（1+d）+d，先求出t，再代入验证，可得结论；
（2）由{b_n}的首项、段长、段比、段差，⇒b_3n+2-b_3n-1=（b_3n+1+d）-b_3n-1=（qb_3n+d）-b_3n-1=[q（b_3n-1+d）+d]-b_3n-1=2d=6，⇒{b_3n-1}是等差数列，又b_3n-2+b_3n-1+b_3n=（b_3n-1-d）+b_3n-1+（b_3n-1+d）=3b_3n-1，即可求S_3n，从而求实数λ的取值范围；
（3）k取2，3，4时存在，有序数组可以是（2，$\frac{b}{b+d}$），（3，$\frac{b}{b+2d}$），（3，-1），（6，$\frac{b}{b+5d}$）．

解答 解：（1）{b_n}的前4项依次为1，1+d，t（1+d），t（1+d）+d，
由前三项成等比数列得（1+d）²=t（1+d），
∵1+≠0，∴t=1+d，
那么第2，3，4项依次为t，t²，t²+t-1，∴t⁴=t（t²+t-1），∴t=±1．
t=1时，d=0，b_n=1，满足题意；
t=-1时，d=-2，b_n=（-1）^n-1，满足题意；
（2）∵{b_n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴b_3n+2-b_3n-1=（b_3n+1+d）-b_3n-1=（qb_3n+d）-b_3n-1=[q（b_3n-1+d）+d]-b_3n-1=2d=6，
∴{b_3n-1}是以b₂=4为首项、6为公差的等差数列，
又∵b_3n-2+b_3n-1+b_3n=（b_3n-1-d）+b_3n-1+（b_3n-1+d）=3b_3n-1，
∴S_3n=（b₁+b₂+b₃）+（b₄+b₅+b₆）+…+（b_3n-2+b_3n-1+b_3n）=3（b₂+b₅+…+b_3n-1）=3[4n+$\frac{n（n-1）}{2}×6$]=9n²+3n，…（6分）
∵${S}_{3n}≤λ{•3}^{n-1}$，∴$\frac{{S}_{3n}}{{3}^{n-1}}≤λ$，
设c_n=$\frac{{S}_{3n}}{{3}^{n-1}}$，则λ≥（c_n）_max，
又c_n+1-c_n=$\frac{-2（3{n}^{2}-2n-2）}{{3}^{n-1}}$，
当n=1时，3n²-2n-2＜0，c₁＜c₂；当n≥2时，3n²-2n-2＞0，c_n+1＜c_n，
∴c₁＜c₂＞c₃＞…，∴（c_n）_max=c₂=14，…（9分）
∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）
（3）k取2，3，4时存在，有序数组可以是（2，$\frac{b}{b+d}$），（3，$\frac{b}{b+2d}$），（3，-1），（6，$\frac{b}{b+5d}$）．

点评 本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．