Question

6．已知函数f（x）=x（x-c）²（c∈R）在x=2处有极小值．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ） 求f（x）在区间[0，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=3x²-4cx+c²，令f′（2）=0，解得c，再分别讨论，利用函数f（x）=x（x-c）²（c∈R）在x=2处有极小值，从而得出答案；
（Ⅱ） 确定函数的单调性，即可求f（x）在区间[0，4]上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ） 因为f'（x）=（x-c）²+2x（x-c）=3x²-4cx+c²，
又f（x）=x（x-c）²在x=2处有极小值，
所以f'（2）=12-8c+c²=0⇒c=2或c=6，（2分）
①当c=2时，f'（x）=3x²-8x+4=（3x-2）（x-2），
当$f'（x）=（3x-2）（x-2）≥0⇒x≤\frac{2}{3}$或x≥2时，f（x）单调递增，
当$f'（x）=（3x-2）（x-2）≤0⇒\frac{2}{3}≤x≤2$时，f（x）单调递减，
此时f（x）在x=2处有极小值，符合题意；（4分）
②当c=6时，f'（x）=3x²-24x+36=3（x-2）（x-6），
当f'（x）=3（x-2）（x-6）≥0⇒x≤2或x≥6时，f（x）单调递增，
当f'（x）=3（x-2）（x-6）≤0⇒2≤x≤6时，f（x）单调递减，
此时f（x）在x=2处有极大值，不符题意，舍去．
综上所述，c=2．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x（x-2）²，f'（x）=（3x-2）（x-2），
令f'（x）=（3x-2）（x-2）=0，得$x=\frac{2}{3}$或x=2，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	0	$（0，\frac{2}{3}）$	$\frac{2}{3}$	$（\frac{2}{3}，2）$	2	（2，4）	4
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	↗	极大值$\frac{32}{27}$	↘	极小值0	↗	16

由上表可知：f（x）_min=0，f（x）_max=16．（12分）

点评 本题考查函数的单调性、极值、最值，考查导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．