Question

14．已知圆C：（x-1）²+（y-1）²=1．
（1）求过点P（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）与圆C相切的直线方程；
（2）求过点P（2，3）与圆C相切的直线方程，并求切线长．
（3）与直线y=x平行且与圆x²+y²=1相切的直线方程．

Answer 1

分析 根据题意得圆心为C（1，1），半径r=1．再根据切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式加以计算，并结合分类讨论可得所求的切线方程

解答 解：圆C：（x-1）²+（y-1）²=1的圆心为C（1，1），半径r=1．
（1）由已知P（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）满足圆的方程，所以P在圆上，所以过P且与圆C相切的直线斜率为-1，所以直线方程为：y-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-（x-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），整理得y=-x+2+$\sqrt{2}$；
（2）当经过点P（2，3）的直线与x轴垂直时，方程为x=2，恰好到圆心C到直线的距离等于半径，此时直线与圆相切，符合题意；
当经过点P（2，3）的直线与x轴不垂直时，设方程为y-3=k（x-2），即kx-y-2k+3=0
由圆C到直线的距离d=r，得$\frac{|k-1-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解之得k=$\frac{4}{3}$
此时直线的方程为y-4=$\frac{4}{3}$（x-2），化简得4x-3y+4=0．
综上所述，过点P（2，3）与圆C相切的直线方程为x=2或4x-3y+4=0．
（3）设与直线y=x平行且与圆x²+y²=1相切的直线方程为y=x+b，则圆心（1，1）到直线x-y+b=0的距离为1，即$\frac{|b|}{\sqrt{2}}=1$，解得b=$±\sqrt{2}$，所以与直线y=x平行且与圆x²+y²=1相切的直线方程y=x$±\sqrt{2}$．

点评 本题给出直线经过定点，求直线与圆相切时直线的方程．着重考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．