Question

5．等差数列{a_n}中，a₁＞0，d≠0，S₃=S₁₁，则S_n中的最大值是（　　）

• A． S₇
• B． S₇或S₈
• C． S₁₄
• D． S₈

Answer 1

分析 根据等差数列的前n项和公式以及性质进行求解即可．

解答 解：∵a₁＞0，d≠0，S₃=S₁₁，
∴3a₁+$\frac{3×2}{2}d$=11a₁+$\frac{11×10}{2}d$，
即3a₁+3d=11a₁+55d，
则8a₁=-52d，
得d=-$\frac{2}{13}$a₁，
则S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-$\frac{2}{13}$a₁）
=$-\frac{{a}_{1}}{13}$[（n-7）²-49]，
∴当n=7时，S_n取得最大值，
方法二：：∵a₁＞0，d≠0，S₃=S₁₁，
∴3a₁+$\frac{3×2}{2}d$=11a₁+$\frac{11×10}{2}d$，
即3a₁+3d=11a₁+55d，
则8a₁=-52d，
得d=-$\frac{2}{13}$a₁，
则a_n=a₁+（n-1）d=a₁-$\frac{2}{13}$a₁（n-1）=（-$\frac{2}{13}$n+$\frac{15}{13}$）a₁，
由a_n=（-$\frac{2}{13}$n+$\frac{15}{13}$）a₁＞0得-$\frac{2}{13}$n+$\frac{15}{13}$＞0，
解得n＜$\frac{15}{2}$，
即当n≥8时，a_n＜0，
当n≤7时，a_n＞0，
即当n=7时，S_n取得最大值，
则故选：A

点评 本题主要考查等差数列的性质，根据条件求出等差数列的公差以及利用等差数列的前n项和的性质是解决本题的关键．