Question

20．已知函数f（x）=-x²+2ex+m-1，g（x）=x+$\frac{{e}^{2}}{x}$（x＞0）（e为自然对数的底数）．
（1）若f（e）=2e²-1，求实数m的值；
（2）求函数g（x）的最小值；
（3）若函数h（x）=f（x）-g（x）有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用代入法，解方程即可得到m；
（2）运用基本不等式，即可得到最小值；
（3）函数h（x）=f（x）-g（x）有两个零点，即为y=f（x）和y=g（x）的图象有两个交点，分别求得函数f（x）的最大值和g（x）的最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=-x²+2ex+m-1，
则f（e）=-e²+2e²+m-1=2e²-1，
解得m=e²；
（2）当x＞0时，g（x）=x+$\frac{{e}^{2}}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{{e}^{2}}{x}}$=2e，
当且仅当x=e时，g（x）取得最小值，且为2e；
（3）函数h（x）=f（x）-g（x）有两个零点，
即为y=f（x）和y=g（x）的图象有两个交点，
由于g（x）在x=e处取得最小值2e，
f（x）=-（x-e）²+e²+m-1，即有f（x）在x=e处取得最大值e²+m-1，
则有e²+m-1＞2e，
解得m＞2e+1-e²．
则实数m的取值范围是（2e+1-e²，+∞）．

点评 本题考查函数的最值的求法，同时考查基本不等式的运用和二次函数的最值的求法，以及函数和方程的转化思想的运用，属于中档题．