Question

10．已知向量$\vec a=（\sqrt{3}，1）$，$\vec b=（1，\sqrt{3}）$，$\vec c=（-1-cosα，sinα）$，α为锐角．
（Ⅰ）求向量$\vec a$，$\vec b$的夹角；
（Ⅱ）若$\vec b⊥\vec c$，求α．

Answer 1

分析 利用平面向量的数量积公式求向量的夹角．

解答 解：（Ⅰ）由已知得到cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{2\sqrt{3}}{2×2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$…（3分）
∵＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞∈[0，π]
∴向量$\vec a$，$\vec b$的夹角$\frac{π}{6}$；…（5分）
（Ⅱ）由$\vec b⊥\vec c$知$\vec b•\vec c=0$，即$-1-cosα+\sqrt{3}sinα=0$…（7分）
∴$2sin（α-\frac{π}{6}）=1$，
∴$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$…（9分）
又α为锐角，∴$α=\frac{π}{3}$．…（10分）

点评 本题考查了平面向量数量积公式的运用求向量的夹角；关键是熟记公式，正确运用．