Question

2．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且满足S₃=9，a₄=7．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S₃=3a₁+3d=9及a₄=a₁+3d=7，计算即得结论；
（2）通过a_n=2n-1可得b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用并项相加法计算即得结论．

解答 解：（1）依题意有S₃=a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=9，
同时又a₄=a₁+3d=7，
∴a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．