Question

14．某校举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一、高二学生中各抽出100人的成绩作为样本．对高一年级的100名学生的成绩进行统计，得到成绩分布的频率分布直方图如图：
（1）若规定60分以上为合格，计算高一年级这次知识竞赛的合格率；
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校大量高一学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的合格人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和期望E（X）；
（3）若高二年级这次知识竞赛的合格率为60%，由以上统计数据填写2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”．

	高一	高二	合计
合格人数
不合格人数
合计

Answer 1

分析 （1）根据频率直方图求解得出高一合格率为0.02×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=0.8=80%．
（2）确定X=0，1，2，3，利用独立试验的概率公式得出求解$P（X=0）=C_3^0{0.8^0}{0.2^3}=0.008$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×0.8¹×0.2²=0.096，P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×0.8²×0.2¹=0.384；$P（X=3）=C_3^3{0.8^3}{0.2^0}=0.512$，列出分布列，求解数学期望．
（3）根据表格知识得出K²知即可，利用独立检验判断有9%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”．

解答 解：（1）高一合格率为0.02×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=0.8=80%．
（2）X=0，1，2，3，
$P（X=0）=C_3^0{0.8^0}{0.2^3}=0.008$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×0.8¹×0.2²=0.096，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×0.8²×0.2¹=0.384，
$P（X=3）=C_3^3{0.8^3}{0.2^0}=0.512$，

X	0	1	2	3
p	0.008	0.096	0.384	0.512

E（X）=3×0.8=2.4．
（3）

	高一	高二	合计
合格人数	80	60	140
不合格人数	20	40	60
合计	100	100	200

K²=$\frac{200（80×40-20×60）^{2}}{100×100×140×60}$≈9.5＞6.635．
所以有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”．

点评 本题考查统计知识，考查学生的阅读能力，读图能力，学生的计算能力，属于中档题．