Question

3．已知圆C的一条直径的端点分别是A（0，1），B（2，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx-2与圆C相切，求k的值；
（Ⅲ）若圆C上恰有两个点到点D（1，a）（a＞1）的距离为2，请直接写出实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx-2与圆C相切，则圆心C（1，1）到直线kx-y-2=0的距离等于半径1，即可求k的值；
（Ⅲ）根据圆C上恰有两个点到点D（1，a）（a＞1）的距离为2，可写出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵A（0，1），B（2，1）是圆C的一条直径的两端点，
∴圆心C是AB的中点，其坐标为（1，1）（1分）
圆C半径|AC|=1（12分）
∴圆C的方程是：（x-1）²+（y-1）²=1（4分）
（Ⅱ）∵直线l：y=kx-2与圆C相切，
∴圆心C（1，1）到直线kx-y-2=0的距离等于半径1，即$\frac{{|{k•1-1-2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，（7分）
解得$k=\frac{4}{3}$．（9分）
（Ⅲ）a的取值范围是（2，4）（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．