Question

12．已知复数z₁=1+ai（其中a＞0），且z₁²为纯虚数．
（Ⅰ）求复数z₁；
（Ⅱ）若z₂=$\frac{z_1}{1-i}$，求复数z₂的模|z₂|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用复数的乘方以及复数的基本概念，虚部不为0实部为0，即可求复数z₁；
（Ⅱ）化简z₂=$\frac{z_1}{1-i}$为a+bi的形式，即可直接求解复数z₂的模|z₂|．

解答 满分（10分）．
解：（Ⅰ）${z_1}^2={（1+ai）^2}=1-{a^2}+2ai$，
∵${z_1}^2$为纯虚数∴1-a²=0，…（3分）．
又∵a＞0
∴a=1，
∴z₁=1+i． …（5分）
（Ⅱ）${z_2}=\frac{z_1}{1-i}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{（1+i）•（1+i）}{（1-i）•（1+i）}=\frac{2i}{2}=i$，…（8分）
∴$|{z_2}|=|i|=\sqrt{{0^2}+{1^2}}=1$． …（10分）

点评 本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识．考查概念识记、运算化简能力．