Question

3．已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）的值为1．

Answer 1

分析 根据f（x）的图象关于x=1对称和奇函数的性质求出函数的周期，结合条件和函数周期性、对称性、奇偶性，求出f（0）、f（1）、f（2、+f（3）的值，再利用函数的周期性求出式子的和．

解答 解：∵f（x）的图象关于x=1对称，∴f（2-x）=f（x），
∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，∴f（x）=f[-（x-2）]=-f（x-2），
则f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）的周期是4，
∵x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，
∴f（0）=0，f（1）=1，f（4）=f（0）=0，f（2）=f（0）=0，f（3）=-f（1）=-1，
则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=503×0+f（0）+f（1）=1，
故答案为：1．

点评 本题考查函数的周期、奇偶性、对称性的综合应用，以及转化思想，属于中档题．