Question

6．已知sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cos（β-α）=$\frac{13}{14}$，且0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$．
（1）求tan2α值；
（2）求cosβ值．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得tanα的值，进而利用正切的二倍角公式求得答案．
（2）求得cosα和sin（β-α）的值，进而利用两角和与差的余弦函数公式求得答案．

解答 解：（1）∵0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜β-α$＜\frac{π}{2}$，
∴tanα=4$\sqrt{3}$，tan（β-α）=$\frac{3\sqrt{3}}{13}$，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{8\sqrt{3}}{1-48}$=-$\frac{8\sqrt{3}}{47}$．
（2）由（1）可知cosα=$\frac{1}{7}$，sin（β-α）=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$
cosβ=cos（α+β-α）=cosαcos（β-α）-sinαsin（β-α）=$\frac{1}{7}$×$\frac{13}{14}$-$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=-$\frac{23}{98}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的正切函数，同角三角函数基本关系的应用．考查了学生对基础公式的熟练应用．