Question

9．定义等积数列{a_n}：若a_na_n-1=p（p为非零常数，n≥2），则称{a_n}为等积数列，p称为公积．若{a_n}为等积数列，公积为1，首项为a，前n项和为S_n，则a₂₀₁₅=a，S₂₀₁₅=1008a+$\frac{1007}{a}$．

Answer 1

分析 根据题意列出a_na_n+1=1（n∈N⁺），求出数列{a_n}的通项公式，再求该数列的前2015项和．

解答 解：由题意得：a_na_n+1=1（n∈N⁺），且a₁=a，
∴a₂=$\frac{1}{a}$，a₃=a，a₄=$\frac{1}{a}$，a₅=a，a₆=$\frac{1}{a}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，}&{n为奇数}\\{\frac{1}{a}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
∴a₂₀₁₅=a，
当n是奇数时，数列的奇数项数是1008，偶数项数是1007，
则数列的前2015项和S₂₀₁₅=1008a+$\frac{1007}{a}$．
故答案为：a，1008a+$\frac{1007}{a}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，观察数列的规律、总结出项数与项之间的关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．