Question

19．在三角形ABC中，点D是线段BC中点，点F在线段CD上，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，z=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$，若$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，求z最小值．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，B，F，C三点共线，可得x+y=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，B，F，C三点共线，
∴x+y=1．
∴z=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=9，当且仅当y=2x=$\frac{2}{3}$时取等号．
∴z的最小值为9．

点评 本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．