Question

10．设正项数列{a_n}（n≥5）对任意正整数k（k≥3）恒满足：a₄=4，a₅=5，且$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}{a}_{5}}$+…+$\frac{1}{{a}_{k-2}{a}_{k-1}{a}_{k}}$=$\frac{（k+1）{a}_{k-2}}{4{a}_{k-1}{a}_{k}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在整数λ，使得$\sum_{i=1}^n{{a_i}^3}={（\sum_{i=1}^n{{a_i}^{\;}}）^λ}$对于任意正整数n恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（注：$\sum_{i=1}^n{a_i}={a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}$）

Answer 1

分析 （1）猜想得出a_n=n．运用数学归纳法证明即可．
（2）当n=1，n=2时有1³=1²，1³+2³=（1+2）³，得λ=2．猜想λ=2，运用数学归纳法证明．

解答 解：（1）当k=3时，a₁=1；当k=4时，a₂=2；当k=5时，a₃=3；
猜想：a_n=n．                                    
①当n=1时，a₁=1，成立；
②假设当n=k时结论成立，即有a_k=k，
则当n=k+1时，由于 $\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$$+\frac{1}{{a}_{2}a{{\;}_{3}a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{k-2}{a}_{k-1{a}_{k}}}$=$\frac{（k+1）{a}_{k-2}}{4{a}_{k-1}{a}_{k}}$
所以 $\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$$+\frac{1}{{a}_{2}a{{\;}_{3}a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{k-2}{a}_{k-1{a}_{k}}}$+$\frac{1}{{a}_{k-1}{a}_{k}{a}_{k+1}}$=$\frac{（k+1）{a}_{k-2}}{4{a}_{k-1}{a}_{k}}$$+\frac{1}{{a}_{k-1}{a}_{k}{a}_{k+1}}$
而$\frac{（k+1）{a}_{k-2}}{4{a}_{k-1}{a}_{k}}$$+\frac{1}{{a}_{k-1}{a}_{k}{a}_{k+1}}$=$\frac{（k+2）{a}_{k-1}}{4{a}_{k}{a}_{k+1}}$，a_k=k，得a_k+1=k+1，
所以当n=k+1时，结论成立；
由①②可知：a_n=n．                                     
（2）若存在整数λ，使得$\sum_{i=1}^{n}$a³_i=（$\sum_{i=1}^{n}$a_i）²对于任意正整数n恒成立，
则当n=1，n=2时有1³=1²，1³+2³=（1+2）³，得λ=2．
猜想λ=2，
①当n=1时，成立；
②假设当n=k时，结论成立，（$\sum_{i=1}^{k}$a_i）²，
则当n=k+1时，$\sum_{i=1}^{k+1}$a_i³+a³_k+1
=[$\frac{k（k+1）}{2}$]²+（k+1）³
=（k+1）²（$\frac{{k}^{2}}{4}$+k+1）
=[$\frac{（k+1）（k+2）}{2}$]²
=（$\sum_{i=1}^{k+1}$a_i）²
所以当n=k+1时，结论成立；
由①②可知：λ=2，使得命题成立．

点评 本题考察了数列的概念性质，运用数学归纳法证明求解通项公式，前n项和的问题，考察了学生的化简能力．逻辑推理能力．