Question

5．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点x=0处的切线为l：4x+y-5=0，若x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，得到关于a，b，c的不等式组，解出即可；（2）先求出函数的表达式，求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间，函数的最值．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，
得：f′（x）=3x²+2ax+b，
当x=0时，切线l的斜率为-4，可得b=-4①，
当x=-2时，y=f（x）有极值，得f′（-2）=0，
∴12-4a+b=0②，
由①②得：a=2，b=-4，
由于切点的横坐标为x=0，
∴f（0）=5，∴c=5，
∴a=2，b=-4，c=5．
（2）由（1）得f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0，解得：x=-2或x=$\frac{2}{3}$，
当x变化时，y′，y的值及变化如下表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，1）	1
y′		+	0	-	0	+
y	8	递增	13	递减	$\frac{95}{27}$	递增	4

∴y=f（x）在[-3，1]上的最大值为13，最小值为$\frac{95}{27}$．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．