Question

15．在四边形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，CD=2，∠BAD=135°，∠BCD=60°，∠ADB=30°．
（1）求BC边的长；
（2）求∠ABC的大小．

Answer 1

分析 （1）在三角形ABD中，利用正弦定理求出BD的长，在三角形BCD中，利用余弦定理求出BC的长即可；
（2）在三角形BCD中，利用正弦定理求出sin∠DBC的值，进而确定出∠DBC的度数，根据∠ABD+∠DBC求出∠ABC度数即可．

解答 解：（1）在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}$=$\frac{BD}{sin∠BAD}$，即$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{BD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
解得：BD=$\sqrt{6}$，
在△BCD中，由余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CDcos∠BCD，即6=BC²+4-2BC，
解得：BC=1+$\sqrt{3}$或BC=1-$\sqrt{3}$（舍去），
则BC的长为1+$\sqrt{3}$；
（2）在△BCD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BCD}$=$\frac{CD}{sin∠DBC}$，即$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{sin∠DBC}$，
解得：sin∠DBC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DBC=45°或135°，
在△BCD中，∠BCD=60°，
∴∠DBC=45°，
∵∠ABD=180°-135°-30°=15°，
∴∠ABC=60°．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．