Question

10．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-3y≥0}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$．则x+3y的最大值是6．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合，进行求最值即可．

解答 解：设z=x+3y得$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$由图象可知当直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$经过点A时，直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$的截距最大，
此时z也最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x-3y=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即A（3，1），
代入目标函数z=x+3y，得z=3+3=6．
故z=x+3y的最大值为6．
故答案为：6

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．