Question

20．若a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，则$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\root{3}{2}}{3}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 根据不等式：$x、y、z＞0，（x+y+z）（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}）≥9$和题意，化简$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$后可得式子的最小值．

解答 解：根据不等式：$x、y、z＞0，（x+y+z）（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}）≥9$，
∵a，b，c∈（0，+∞），
∴[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$）≥9，
又a+b+c=1，则（a+b）+（b+c）+（c+a）=2（a+b+c）=2，
∴$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{2}$，
则$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$的最小值是$\frac{9}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查不等式：$x、y、z＞0，（x+y+z）（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}）≥9$的应用，属于基础题．