Question

11．定义在区间[a，b]上的函数f（x）=$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx的值域是[-$\frac{1}{2}$，1]，则b-a的最大值是$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意根据f（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$）的值域是[-$\frac{1}{2}$，1]，求得x-$\frac{π}{3}$的最大范围为[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈z，可得x的最大范围，从而求得b-a的最大值．

解答 解：定义在区间[a，b]上的函数f（x）=$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=sin（x-$\frac{π}{3}$）的值域是[-$\frac{1}{2}$，1]，
则x-$\frac{π}{3}$的最大范围为[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈z，可得x的最大范围为[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈z，
故b-a的最大值为$\frac{5π}{6}$-（-$\frac{π}{2}$）=$\frac{4π}{3}$，
故答案为：$\frac{4π}{3}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，求得x-$\frac{π}{3}$的最大范围为[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈z，是解题的关键，属于基础题．