Question

3．求证：
（1）3+cos4α-4cos2α=8sin⁴α；
（2）$\frac{tanαtan2α}{tan2α-tanα}$+$\sqrt{3}$（sin²α-cos²α）=2sin（2α-$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 从左边入手，利用三角函数的倍角公式以及两角和与差的三角函数公式进行证明．

解答 证明：（1）左边=3+cos4α-4cos2α=2+2cos²2α-4cos2α=2（cos2α-1）²=8sin⁴α=右边；
（2）$\frac{tanαtan2α}{tan2α-tanα}$+$\sqrt{3}$（sin²α-cos²α）=$\frac{sinαsin2α}{sin2αcosα-cos2αsinα}-\sqrt{3}cos2α$=$\frac{sinαsin2α}{sin（2α-α）}-\sqrt{3}cos2α$=sin2α-$\sqrt{3}$cos2α=2sin（2α-$\frac{π}{3}$）=右边．

点评 本题考查了三角恒等式的证明；关键是熟练运用三角函数的倍角公式以及两角和与差的三角函数公式进行证明．