Question

13．已知命题p：函数y=x²-2x+a在区间（1，2）上有1个零点；命题q：函数y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p，设y=f（x），知道该函数为二次函数，对称轴为x=1，从而有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得到0＜a＜1；对于命题q，则有△＞0，从而可解得$a＞\frac{5}{2}$，或a$＜\frac{1}{2}$．并且根据条件可知p真q假，或p假q真，求出这两种情况的a的取值范围再求并集即可．

解答 解：对于命题p，设y=f（x）=x²-2x+a；
该二次函数开口向上，对称轴为x=1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-1+a＜0}\\{f（2）=a＞0}\end{array}\right.$，∴0＜a＜1；
对于命题q：函数y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点；
∴△=（2a-3）²-4＞0，即4a²-12a+5＞0；
解得$a＞\frac{5}{2}$或$a＜\frac{1}{2}$；
∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假；
①p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ \frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}\end{array}\right.$，所以$\frac{1}{2}≤a＜1$；
②p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}a≥1或a≤0\\ a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}\end{array}\right.$，所以$a＞\frac{5}{2}$或a≤0；
∴实数a的取值范围是（-∞，0]∪[$\frac{1}{2}$，1）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 考查函数零点的概念，求二次函数的对称轴的公式，以及二次函数图象和x轴交点的个数和判别式△的关系，要熟悉二次函数的图象，清楚p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．