Question

18．数列有如下性质：若数列{a_n}为等差数列，当b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$时，数列{b_n}也是等差数列；类比上述性质，在正项等比数列{c_n}中，当d_n=$\root{n}{{c}_{1}{c}_{2}•…•{c}_{n}}$时，数列{d_n}也是等比数列．

Answer 1

分析 条件数列{a_n}为等差数列，当b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$时，根据等差与等比的类比，等差中和对应等比中积，等差中除对应等比中的开方很快得到在正项等比数列{c_n}中，d_n=$\root{n}{{c}_{1}{c}_{2}…{c}_{n}}$．

解答 解：等差数列中算术平均数$\frac{a+b}{2}$，对应等比数列中的几何平均数$\sqrt{ab}$，推广算术平均数b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$，对应着几何平均数$\root{n}{{c}_{1}{c}_{2}•…•{c}_{n}}$，
故答案为数$\root{n}{{c}_{1}{c}_{2}•…•{c}_{n}}$．

点评 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．