Question

2．已知f（x）=sin²ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$（x∈R，ω＞0），若f（x）的最小正周期为π．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]的最大值和最小值．
（Ⅲ）试探究关于x的方程f（x）=a在[0，$\frac{π}{2}$]内解的个数情况，并求出相应实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据最小正周期求得ω，则函数解析式可得．
（Ⅱ）根据x的范围，确定2x-$\frac{π}{6}$的范围，进而根据正弦函数的图象求得函数的最大和最小值．
（Ⅲ）利用数形结合的思想，看直线y=a和三角函数y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象的交点个数．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
当2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$时，kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ$+\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ$+\frac{π}{3}$]．
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，函数f（x）有最大值1，
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，函数f（x）有最小值-$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）
如图当-1≤a＜$\frac{1}{2}$或a=1时，方程有一个解，
当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，方程有两个解，
当a＜-1或a＞1时，方程无解．

点评 本题主要考查了三角函数图象与性质，二倍角公式和两角和公式的应用．第三问关于方程的解的个数，常用数形结合的思想来解决．