Question

2．已知|$\overrightarrow{a}$|=6，|$\overrightarrow{b}$|=8，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，若向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$）=0，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$的最大值是60．

Answer 1

分析 由已知|$\overrightarrow{a}$|=6，|$\overrightarrow{b}$|=8，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，若向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$）=0展开得到${\overrightarrow{c}}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}$，又|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=10，设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$夹角为θ，得到|$\overrightarrow{c}$|=10cosθ，得到其最大值为10，进一步设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$的夹角为α，利用数量积公式得到所求最大值．

解答 解：因为|$\overrightarrow{a}$|=6，|$\overrightarrow{b}$|=8，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$）=0，所以${\overrightarrow{c}}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}$，又|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=10，设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$夹角为θ，得到|$\overrightarrow{c}$|=10cosθ，
所以|$\overrightarrow{c}$|的最大值为10，
设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$的夹角为α，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{c}$|cosα≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{c}$|=60；
故答案为：60．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，属中档题，熟练掌握相关运算性质是解题基．