Question

19．下列命题：
①sin2x=cosx，则sinx=$\frac{1}{2}$；
②若关于x的方程ax²+bx+c=0（a，b，c∈R）无两个不相等的实根，则ac≥0；
③若非零向量|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为60°；
④若集合A={x|x²+2x-3＜0，x∈R}，则集合A∩Z的子集个数为8．
其中真命题为②④．（填序号）

Answer 1

分析 利用二倍角公式化简方程，判断①的正误；方程是否有实数根判断②的正误；利用向量的夹角判断③的正误；利用子集的个数判断④的正误．

解答 解：对于①，sin2x=cosx，可得2sinxcosx=cosx，可得cosx=0或sinx=$\frac{1}{2}$；所以①不正确；
对于②，若关于x的方程ax²+bx+c=0（a，b，c∈R）无两个不相等的实根，可得b²-4ac≤0，
则ac≥$\frac{1}{4}{b}^{2}≥0$；所以②正确；
对于③，若非零向量|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为120°；所以③不正确；
对于④，若集合A={x|x²+2x-3＜0，x∈R}={x|-3＜x＜1}，则集合A∩Z={-2，-1，0}
它的子集个数为8．所以④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，涉及三角方程，根与系数的关系的应用，向量的夹角，集合的子集等知识，基本知识的考查．