Question

8．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n+$\frac{c}{n}$，若对任意n∈N⁺，都有a_n≥a₃，则实数c的取值范围是（　　）

• A． [6，12]
• B． （6，12）
• C． [5，12]
• D． （5，12）

Answer 1

分析 根据数列的递推关系得到a₃是最小值解不等式即可得到结论．

解答 解：由题意可得c＞0，
∵对所有n∈N^*不等式a_n≥a₃恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}≥{a}_{3}}\\{{a}_{4}≥{a}_{3}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2+\frac{c}{2}≥3+\frac{c}{3}}\\{4+\frac{c}{4}≥3+\frac{c}{3}}\end{array}\right.$，
∴6≤c≤12，
经验证，数列在（1，2）上递减，（3，+∞）上递增，
或在（1，3）上递减，（4，+∞）上递增，符合题意，
故选：A．

点评 本题主要考查数列的函数性质，利用不等式的性质，建立不等式组关系是解决本题的关键．