Question

18．设抛物线C：y²=x与直线l交于A，B两点（异于原点O），以AB为直径的圆恰好经过原点O．
（Ⅰ）求证：直线l过定点．
（Ⅱ）求△OAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设l方程为x=ty+m与抛物线方程联立得y²-ty-m=0，利用以AB为直径的圆过原点，即x₁x₂+y₁y₂=0，从而求出直线l过定点．
（Ⅱ）△OAB面积为$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|，即可求△OAB面积的最小值．

解答 （Ⅰ）证明：设l方程为x=ty+m联立y²=x得y²-ty-m=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）则y₁+y₂=t，y₁y₂=-m
∴x₁x₂=m²
∵以AB为直径的圆过原点，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴m²-m=0，∴m=1，
∴直线l过定点（1，0）．
（Ⅱ）解：设C（1，0），则
△OAB面积为$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{t}^{2}+4}$，
∴t=0时，△OAB面积的最小值为1．

点评 本题主要考查抛物线的简单性质，考查恒过定点问题，考查三角形面积的计算，注意挖掘题目隐含，将问题等价转化．