Question

6．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{8}）$的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-a=0（a∈R）在区间$（0，\;\frac{π}{2}）$内有两个不相等的实数根x₁，x₂，记t=acos（x₁+x₂），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，代入即可求值．
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，\;\;k∈Z$可得函数f（x）的单调递增区间；由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}$可得函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）由题意可得命题等价于直线y=a与曲线$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$（$0＜x＜\frac{π}{2}$）有两个交点．当$0＜x＜\frac{π}{2}$时，由正弦函数的单调性可解得$1＜a＜\sqrt{2}$，由于函数f（x）的图象关于$x=\frac{π}{8}$对称，即${x_1}+{x_2}=\frac{π}{4}$，从而求得$cos（{{x_1}+{x_2}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即可得解．

解答 （本题满分14分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x（1分）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，（2分）
∴$f（\frac{π}{8}）=\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$．（4分）
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，\;\;k∈Z$．
得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$（6分）
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}$得$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}$，（8分）
∴f（x）在区间$[kπ-\frac{3π}{8}，\;\;kπ+\frac{π}{8}]$（k∈Z）上是递增函数f（x）在区间$[kπ+\frac{π}{8}，\;\;kπ+\frac{5π}{8}]$（k∈Z）是单调递减函数．（9分）
（Ⅲ）方程f（x）-a=0在区间$（0，\frac{π}{2}）$内有两实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）等价于
直线y=a与曲线$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$（$0＜x＜\frac{π}{2}$）有两个交点．
∵当$0＜x＜\frac{π}{2}$时，由（Ⅱ）知$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$在$（{0，\;\;\frac{π}{8}}]$上是增函数，
在$[{\frac{π}{8}，\;\;\frac{π}{2}\;}）$上是减函数，（10分）
且$f（0）=1，\;\;f（\frac{π}{8}）=\sqrt{2}，\;\;f（\frac{π}{2}）=-1$，
∴$1＜a＜\sqrt{2}$（11分）
∵函数f（x）的图象关于$x=\frac{π}{8}$对称，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{π}{4}$，
∴$cos（{{x_1}+{x_2}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，（13分）
∴实数t的取值范围为$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\;\;1）$．（14分）

点评 本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，复合三角函数的单调性，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．