Question

17．如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）证明：BC⊥CM；（2）证明：PQ∥平面BCD．

Answer 1

分析 （1）由AD与平面BCD垂直，得到BC与AD垂直，进而得到BC与平面ACD垂直，即可得证；
（2）取BD的中点E，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接PE，EF，QF，利用中位线定理得到PE与DM平行，进而得到PE与AD平行，等于AD的四分之一，在三角形CAD中，根据题意得到QF与AD平行，且QF等于AD的四分之一，得到PE与QF平行且相等，进而确定出四边形EFQP为平行四边形，得到PQ与EF平行，即可得证．

解答 证明：（1）∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴BC⊥AD，
又BC⊥CD，且CD、AD?平面ACD，CD∩AD=D，
∴BC⊥平面ACD，
∵CM?平面ACD
∴BC⊥CM；
（2）取BD的中点E，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接PE，EF，QF，
∵P、E分别是BM、BD的中点，
∴PE为△BDM的中位线，
∴PE∥DM，且PE=$\frac{1}{2}$DM，即PE∥AD，且PE=$\frac{1}{4}$AD，
在△CAD中，AQ=3QC，DF=3FC，
∴QF∥AD，且QF=$\frac{1}{4}$AD，
∴PE∥QF，且PE=QF，
∴四边形EFQP为平行四边形，
∴PQ∥EF，
∵EF?平面BCD，PQ?平面BCD，
∴PQ∥平面BCD．

点评 此题考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．