Question

2．已知函数$f（x）=a+\frac{1}{{{4^x}-1}}$的图象关于原点对称，则实数a值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和图象的对称关系进行求解即可．

解答 解：∵函数$f（x）=a+\frac{1}{{{4^x}-1}}$的图象关于原点对称，
∴函数f（x）是奇函数，
则f（-x）=-f（x），
即a+$\frac{1}{{4}^{-x}-1}$=-（a+$\frac{1}{{4}^{x}-1}$）=-a-$\frac{1}{{4}^{x}-1}$，
即2a=-$\frac{1}{{4}^{-x}-1}$-$\frac{1}{{4}^{x}-1}$=$-\frac{{4}^{x}}{1-{4}^{x}}$-$\frac{1}{{4}^{x}-1}$=$\frac{{4}^{x}-1}{{4}^{x}-1}$=1，
解得a=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查函数奇偶性的性质的应用，根据奇函数的关系式f（-x）=-f（x）建立方程关系是解决本题的关键．