Question

12．已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，求角α的值；
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）首先求出两个向量的坐标，然后利用α表示等式，得到α；
（2）利用向量的数量积公式得到α的三角函数等式，然后利用三角函数的基本关系式求α的正切．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AC}$=（cosα-3，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-3），
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{（cosα-3）^{2}+si{n}^{2}α}=\sqrt{10-6cosα}$，
|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{co{s}^{2}α+（sinα-3）^{2}}=\sqrt{10-6sinα}$．
由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，得sinα=cosα．又∵α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），∴α=$\frac{5π}{4}$．
（2）由$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=$\frac{2}{5}$．
∴sinα+cosα=$\frac{1}{5}$＞0，故$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}）$，
∴（sinα+cosα）²=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+1+2tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{1}{25}$，解得tanα=$-\frac{3}{4}$（舍去）或$-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的数量积、向量模的计算；考查学生的计算能力．