Question

17．已知命题p：曲线$\frac{{x}^{2}}{a-3}$-$\frac{{y}^{2}}{6-a}$=1为双曲线，命题q：函数f（x）=x²-alnx在（2，3）上是增函数，若p∨（￢q）为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先根据双曲线的标准方程，函数导数符号和函数单调性的关系即可分别求出命题p，q为真时的a的取值范围，而由p∨（￢q）为假命题能得到p假q真，从而求p假时a的范围和q真时a的范围的交集即可．

解答 解：由命题p知，（a-3）（6-a）＞0，∴3＜a＜6；
对于命题q，f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$≥0在（2，3）上恒成立；
而y=2x²-a在（2，3）上是增函数；
∴只需2•2²-a≥0，a≤8；
若p∨（￢q）为假命题，则p假q真；
∴3＜a＜6且a≤8；
∴实数a的取值范围为（3，6）．

点评 考查双曲线的标准方程，函数导数符号和函数单调性的关系，二次函数的单调性，以及p∨q，￢q的真假和p，q真假的关系．