Question

2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，BC=1，BB₁=2，AB=$\sqrt{2}$，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角A-EB₁-A₁的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理即可求出${C}_{1}B=\sqrt{3}$，从而可说明C₁B⊥BC，而由AB⊥平面BB₁C₁C可得到EB₁⊥AB，从而根据线面垂直的判定定理即可得到C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）连接BE，由上面知EB₁⊥BE，设CE=x，（0＜x＜2），分别根据余弦定理可得到$B{E}^{2}，E{{B}_{1}}^{2}$，从而根据$B{E}^{2}+E{{B}_{1}}^{2}=B{{B}_{1}}^{2}$即可求出x=1，从而E点的位置为棱CC₁的中点；
（Ⅲ）容易说明∠BAE等于二面角A-EB₁-A₁平面角的大小，并且△ABE是直角三角形，$BE=1，AB=\sqrt{2}$，从而便能求出二面角A-EB₁-A₁的正切值．

解答 解：（Ⅰ）证明：△BCC₁中，BC=1，CC₁=BB₁=2，$∠BC{C}_{1}=\frac{π}{3}$；
∴由余弦定理：$B{{C}_{1}}^{2}=1+4-2=3$；
∴$B{C}_{1}=\sqrt{3}$；
∴$B{C}^{2}+B{{C}_{1}}^{2}=C{{C}_{1}}^{2}$；
∴C₁B⊥BC；
又AB⊥平面BB₁C₁C，C₁B?平面BB₁C₁C；
∴C₁B⊥AB，AB∩BC=B；
∴C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）如图，连接BE，AB⊥平面BB₁C₁C；

∴EB₁⊥AB；
若EA⊥EB₁，即EB₁⊥EA，AB∩EA=A；
∴EB₁⊥平面ABE，BE?平面ABE；
∴EB₁⊥BE；
设CE=x．则EC₁=2-x；
在△BCE中，由余弦定理得BE²=x²-x+1；
$∠{B}_{1}{C}_{1}E=\frac{2π}{3}$，∴在△EB₁C₁中，由余弦定理得$E{{B}_{1}}^{2}$=1+（2-x）²+（2-x）=x²-5x+7；
在Rt△BB₁E中，$B{E}^{2}+E{{B}_{1}}^{2}=B{{B}_{1}}^{2}$；
∴2x²-6x+8=4；
解得x=1，或x=2（舍去）；
∴E为CC₁中点时，EA⊥EB₁；
（Ⅲ）由前面知AB⊥EB₁，AE⊥EB₁；
∴∠BAE等于二面角A-EB₁-A₁的大小；
AB⊥BB₁C₁C，∴AB⊥BE；
∴在Rt△ABE中$BE=1，AB=\sqrt{2}$，tan$∠BAE=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴二面角A-EB₁-A₁的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查余弦定理，直角三角形边的关系，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及二面角平面角的概念及求法，正切函数的定义．