Question

12．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40$\sqrt{2}$海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，0°＜θ＜90°）且与点A相距10$\sqrt{13}$海里的位置C．
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向，当它行使到A的正南方向时，求该船与观测站A的距离；不改变航向继续航行，判断它是否会进入警戒水域，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得cosθ的值，进而令余弦定理求得BC，除以时间即可求得速度．
（2）建立坐标系，分别求得x₂，y₂，进而求得过直线B，C的直线l的斜率，求得直线l的方程．进而求得点E到直线的距离判断与7的大小关系．

解答 解：（1）如图，AB=40$\sqrt{2}$，AC=10$\sqrt{13}$，∠BAC=θ，sinθ=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
由于°＜θ＜90°，
所以cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{26}}{26}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$
由余弦定理得BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cosθ}$=10$\sqrt{5}$
所以船的行驶速度为$\frac{10\sqrt{5}}{\frac{2}{3}}$=15$\sqrt{5}$（海里/小时）；
（2）如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x₁，y₁），C（x₁，y₂），BC与x轴的交点为D
由题设有x₁=y₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=40
x₂=ACcos∠CAD=10$\sqrt{13}$cos（45°-θ）=30，
y₂=ACsin∠CAD=10$\sqrt{13}$（45°-θ）=20
所以过点B、C的直线l的斜率k=$\frac{20}{10}$=2，
直线l的方程为y=2x-40
又点E（0，-55）到直线l的距离d=$\frac{|0+55-40|}{\sqrt{1+4}}$=3$\sqrt{5}$＜7，
所以船会进入警戒水域．

点评 本题主要考查了解三角形问题的实际应用．建立数学模型，把实际问题转化为几何知识来解决．