Question

2．已知a₁=1，a_n+1=（$\frac{1+a}{2}$+$\frac{a}{2{n}^{2}+2n}$）a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（1）当a=0时，求{a_n}的通项公式；
（2）当a=1时，证明a_n$＜{e}^{\frac{3}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）通过将a=0及a₁=1代入递推式可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，变形可得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2，进而可得结论；
（2）通过a=1易得a_n+1＞a_n＞1，放缩可得a_n+1＜（1+$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）a_n，两边取自然对数并利用ln（1+x）＜x，整理可得lna_n+1-lna_n＜$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，累加即可．

解答 （1）解：当a=0时，a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2，
∴数列{2ⁿa_n}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴2ⁿa_n=2+2（n-1）=2n，
∴a_n=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$；
（2）证明：当a=1时，显然a_n+1＞a_n＞1，
∴a_n+1=（1+$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$）a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$＜（1+$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）a_n，
两边取自然对数，得：lna_n+1＜ln（1+$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）+lna_n，
又∵ln（1+x）＜x，
∴lna_n+1＜ln（1+$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）+lna_n＜$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+lna_n，
∴lna_n+1-lna_n＜$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
累加得：$\sum_{i=1}^{n-1}$（lna_i+1-lna_i）＜$\sum_{i=1}^{n-1}$（$\frac{1}{2{i}^{2}+2i}$+$\frac{1}{{2}^{i}}$）
=$\sum_{i=1}^{n-1}$[$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+1}$）+$\frac{1}{{2}^{i}}$]
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n}$）+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜$\frac{3}{2}$，
即lna_n-lna₁＜$\frac{3}{2}$，
又∵lna₁=0，
∴lna_n＜$\frac{3}{2}$，∴a_n$＜{e}^{\frac{3}{2}}$．

点评 本题是一道数列与不等式的综合题，考查求数列通项及其取值范围，考查对数的运算法则，注意解题方法的积累，属于中档题．