Question

7．设数列{a_n}共有n项（n≥3，n∈N^*），且a₁=a_n=1，对于每个i（1≤i≤n-1，n∈N^*）均有$\frac{{{a_{i+1}}}}{a_i}∈\{\frac{1}{5}，1，5\}$．当n=10时，满足条件的所有数列{a_n}的个数为（　　）

• A． 215
• B． 512
• C． 1393
• D． 3139

Answer 1

分析 令b_i=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$，（1≤i≤9），根据条件得到b₁b₂…b₈b₉=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•…•\frac{{a}_{10}}{{a}_{1}}$=1，结合组合数的公式进行求解即可，

解答 解：令b_i=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$，（1≤i≤9），则对每个符合条件的数列{a_n}满足条件b₁b₂…b₈b₉=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•…•\frac{{a}_{10}}{{a}_{1}}$=1，
且 b_i∈{$\frac{1}{5}$，1，5}，
反之符合上述条件的9项数列{b_n}，可唯一确定一个符合条件的10项数列{a_n}，
记符合条件的数列{b_n}的个数为M，
显然b_i（1≤i≤9）中有k个5，k个$\frac{1}{5}$，9-2k个1，
当k给定时，{b_n}的取法有${C}_{9}^{k}{C}_{9-k}^{k}$ 种，易得k的可能值为0，1，2，3，4，
故M=1+${C}_{9}^{1}{C}_{8}^{1}$+${C}_{9}^{2}{C}_{7}^{2}+{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}+{C}_{9}^{4}{C}_{5}^{4}$=3139，
所以满足条件的所有数列{a_n}的个数为3139个．
故选：D

点评 本题考查数列递推式，解答此题的关键是对题意的理解，难度较大．