Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为（3，0），直线x-y-1=0与双曲线右支相交于点P，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 由题意，$\frac{b}{a}$≥1，可得e=$\frac{c}{a}$≥$\sqrt{2}$，即可求出当双曲线离心率最小时，a=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，可得b，即可得出结论．

解答 解：由题意，c=3，即有a²+b²=9，
当双曲线离心率最小时，直线y=x-1与双曲线相切，
联立直线方程和双曲线的方程，可得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0，
可得△=4a⁴+4（b²-a²）（a²+a²b²）=0，化为a²-b²=1，
解得a²=5，b²=4，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查双曲线的性质与方程，考查学生的计算能力，正确求出a，b是关键．