Question

14．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：

使用年限x	2	3	4	5	6
维修费用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由资料知y对x呈线性相关关系．
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程$\widehat{y}$=bx+a的回归系数a，b；$b=\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}，a=\overline{y}-b\overline{x}$
（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

Answer 1

分析 （1）根据表格中的数据画出散点图即可；
（2）求出x与y的平均数，表示出$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$，求出ξ，根据$\widehat{y}$=$\overline{y}$-ξ$\overline{x}$，计算即可得到结果；
（3）把x=10代入（2）中结果计算即可得到结果．

解答 解：（1）做出图象，如图所示：
；
（2）由上表得：$\overline{x}$=$\frac{2+3+4+5+6}{5}$=4，$\overline{y}$=$\frac{2.2+3.8+5.5+6.5+7}{5}$=5，
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3，
$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=2²+3²+4²+5²+6²=90，
∴ξ=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，
则$\widehat{y}$=$\overline{y}$-ξ$\overline{x}$=1.23x+0.08；
（3）由（2）得：$\widehat{y}$=1.23x+0.08，
把x=10代入得：ξ=1.23×10+0.08=12.38，
则使用年限为10年时，维修费用是大概为12.38万元．

点评 此题考查了线性回归方程，弄清线性回归方程的意义是解本题的关键．