Question

9．已知${（\root{3}{x}+{x^2}）^{2n}}$的展开式的二项式系数之和是（3x-1）ⁿ的展开式的二项系数之和的32倍．求$（2x+\frac{1}{x}{）^{2n}}$的展开式中：
（1）常数项；
（2）系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）先由条件求得n的值，可得 $（2x+\frac{1}{x}{）^{2n}}$的展开式的通项公式，在 $（2x+\frac{1}{x}{）^{2n}}$的展开式的通项公式中，令x的幂指数为零，求得r的值，可得展开式的常数项．
（2）求出展开式中第r+1项的系数为${C}_{10}^{r}$•2^10-r，再根据 $\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{10-r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{11-r}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{10-r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{9-r}}\end{array}\right.$，求得r的范围，可得自然数r的值，从而得到系数最大的项．

解答 解：（1）由题意可得，2²ⁿ=32×2ⁿ，求得2ⁿ=32，可得n=5，
故 $（2x+\frac{1}{x}{）^{2n}}$的展开式的通项公式为 ${T_{r+1}}=C_{10}^r{2^{10-r}}{x^{10-2r}}$，令10-2r=0，求得r=5，
所以常数项为${T_5}=C_{10}^5{2^5}=8064$．
（2）由于 $（2x+\frac{1}{x}{）^{2n}}$的展开式中第r+1项的系数为${C}_{10}^{r}$•2^10-r，再根据 $\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{10-r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{11-r}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{10-r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{9-r}}\end{array}\right.$，
求得$\frac{8}{3}≤r≤\frac{11}{3}⇒r=3$．
所以系数最大的项是第4项，${T_4}=C_{10}^3{2^7}{x^4}=15360{x^4}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，二项式展开式的通项公式，属于中档题．