Question

4．方程$\frac{x|x|}{4}$+y|y|=-1确定的曲线即为y=f（x）的图象，对于函数f（x）有如下结论：
①f（x）单调递增；
②函数g（x）=2f（x）+x不存在零点；
③f（x）的图象与h（x）的图象关于原点对称，则h（x）的图象就是方程$\frac{y|y|}{4}$+x|x|=1确定的曲线；
④f（x）的图象上的点到原点的最小距离为1．
则上述结论正确的是②④（只填序号）

Answer 1

分析 根据x、y的正负去绝对值，将方程$\frac{x|x|}{4}$+y|y|=-1化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且f（x）的图象上的点到原点的最小距离为1，所以①错，④成立；
根据g（x）=2f（x）+x=0得f（x）=-$\frac{1}{2}$x．再由函数图象对应的曲线以y=±$\frac{1}{2}$x为渐近线，得到f（x）=-$\frac{1}{2}$x没有实数根，因此②正确．
根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数h（x）和f（x）的图象关于原点对称，则y=h（x）的图象对应的方程是$\frac{x|x|}{4}$+y|y|=1，说明③错误．由此可得本题的答案．

解答 解：对于①，当x≥0且y≥0时，
方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=-1，轨迹不存在；
当x＜0且y＜0时，方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
此时y=-$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$（x＜0）．
当x≥0且y＜0时，方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-1，
此时y=-$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}+1}$；
当x＜0且y≥0时，方程为-$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=-1．
因此作出函数的图象，如图所示．
由图象可知函数在R上单调递减，所以①不成立．
对于②由g（x）=2f（x）+x=0得f（x）=-$\frac{1}{2}$x．
因为双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-1和-$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=-1的渐近线为y=±$\frac{1}{2}$x，
所以函数y=f（x）与直线y=-$\frac{1}{2}$x无公共点，
因此g（x）=2f（x）+x不存在零点，可得②正确．
对于③，若函数y=h（x）和y=f（x）的图象关于原点对称，
则用-x、-y分别代替x、y，可得-y=f（-x）就是y=h（x）表达式，可得h（x）=-f（-x），
则函数y=h（x）的图象是方程$\frac{x|x|}{4}$+y|y|=1确定的曲线，
而不是方程$\frac{y|y|}{4}$+x|x|=1确定的曲线，所以③错误．
对于④，由图象可得，f（x）的图象上的点（0，-1）到原点的距离为最小，且为1，
所以④正确．
故答案为：②④．

点评 本题给出含有绝对值的二次曲线，要我们判断并于曲线性质的几个命题的真假．着重考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．