Question

12．设定义域为R的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，}&{x≤0}\end{array}\right.$，若关于x的方程2f²（x）+2af（x）+1=0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（-$\frac{3}{2}$，$-\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，}&{x≤0}\end{array}\right.$的图象，结合图象可知方程2x²+2ax+1=0有2个不同的且在（0，1）上的实数根，从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，}&{x≤0}\end{array}\right.$的图象如下，

又∵方程2f²（x）+2af（x）+1=0有6个不同的实数根，
∴方程2x²+2ax+1=0有2个不同的且在（0，1）上的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-2×4×1＞0}\\{1＞0}\\{2+2a+1＞0}\\{0＜-\frac{a}{2}＜1}\end{array}\right.$；
解得，-$\frac{3}{2}$＜a＜$-\sqrt{2}$；
故答案为：（-$\frac{3}{2}$，$-\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．