Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）+2（ω＞0，0＜φ＜π），满足f（x）在区间[a，b]（b＞a）上是单调函数，其中b-a的最大值为4，且当x=1时函数f（x）有最大值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

Answer 1

分析 （1）由由题意可得函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=2×4，求得ω的值；再由当x=1时函数f（x）有最大值求得φ，可得函数f（x）的解析式．
（2）由，f（1）+f（2）+…+f（8）=16，f（8）=3，函数的周期为8，求得所给式子的值．

解答 解：（1）由题意可得函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=2×4，求得ω=$\frac{π}{4}$，故f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x+φ）+2，
再根据f（1）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+φ）+2=$\sqrt{2}$+2，求得$\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，即 φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈z，
再结合0＜φ＜π，可得φ=$\frac{π}{4}$，f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）+2．
（2）由于f（1）+f（2）+…+f（8）=16，f（8）=3，
故f（1）+f（2）+…+f（2015）=251×[f（1）+f（2）+…+f（8）]+f（1）+f（2）+…+f（7）
=16×251+（16-3）=4029．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．