Question

11．数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n（n∈N^*），则$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2015}+1}$的整数部分是1．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，利用裂项法进行求和，即可得到结论．

解答 解：由a_n+1=a_n²+a_n，
得a_n+1=a_n（a_n+1），
取倒数得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
即m=$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2015}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$=2-$\frac{1}{{a}_{2016}}$，
∵a_n+1=a_n²+a_n＞a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{{a}_{n}}$，
且a₃＞1，a₂₀₁₆＞1．
∴0＜$\frac{1}{{a}_{2016}}$＜1，
即-1＞-$\frac{1}{{a}_{2016}}$＞-2，
则2＞2-$\frac{1}{{a}_{2016}}$＞1，
即1＜m＜2．
则所求整数部分为1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查递推数列的应用．根据递推公式求出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$是解决本题的关键．属于中档题．