Question

16．已知函数f（x）=x²-（a+3）x+2+2a（a∈R）．
（1）若对于x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数a的值；
（2）当a∈R时，解关于x的不等式f（x）＜a．

Answer 1

分析 （1）由题意可得判别式（a+3）²-4（2+2a）≤0，解不等式即可得到a=1；
（2）求得方程x²-（a+3）x+2+a=0的两根为1，2+a，讨论a＞-1，a=-1，a＜-1，由二次不等式的解法即可得到解集．

解答 解：（1）对于x∈R，f（x）≥0恒成立，
即有判别式（a+3）²-4（2+2a）≤0，
即有（a-1）²≤0，
由（a-1）²≥0，可得a=1；
（2）不等式f（x）＜a．即为x²-（a+3）x+2+a＜0，
由于x²-（a+3）x+2+a=0的两根为1，2+a，
当a＞-1时，2+a＞1，不等式的解集为（1，2+a）；
当a=-1时，2+a=1，不等式的解集为∅；
当a＜-1时，2+a＜1，不等式的解集为（2+a，1）．
综上可得，当a＞-1时，不等式的解集为（1，2+a）；
当a=-1时，不等式的解集为∅；
当a＜-1时，不等式的解集为（2+a，1）．

点评 本题考查二次不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题，注意运用判别式小于等于0，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．