Question

5．三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个是的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比组成的集合为{$-\frac{1}{2}$，-2}．

Answer 1

分析 据三个数构成等差数列设出三个数，通过讨论哪一个数是等比中项，分三种情况列出方程求出三个数，求出公比．

解答 解：设三个互不相等的实数为a-d，a，a+d，（d≠0）
交换这三个数的位置后：
①若a是等比中项，则a²=（a-d）（a+d），解得d=0，不符合；
②若a-d是等比中项，则（a-d）²=a（a+d），解得d=3a，
此时三个数为a，-2a，4a，公比为-2或三个数为4a，-2a，a，公比为$-\frac{1}{2}$，
③若a+d是等比中项，则同理得到公比为-2，或公比为$-\frac{1}{2}$
所以此等比数列的公比组成的集合是{$-\frac{1}{2}$，-2}，
故答案为：{$-\frac{1}{2}$，-2}．

点评 本题考查三个数成等差数列的设法，等比中项的性质，以及分类讨论思想、方程思想的应用，属于中档题．