Question

7．已知复数z=1-i（i是虚数单位），函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（Ⅰ）若${z^2}+a\overline z+b=3-3i$，求实数a，b的值；
（Ⅱ）解不等式f（x）＞$\frac{b}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出z²，然后利用${z^2}+a\overline z+b=3-3i$，利用复数相等的充要条件列出方程组求解即可．
（Ⅱ）转化|2x+1|-|x-4|＞2，通过令y=|2x+1|-|x-4|，画出函数的图象，然后求解不等式的解．

解答 解：（Ⅰ）复数z=1-i，z²=（1-i）²=-2i，…（1分）
由${z^2}+a\overline z+b=3-3i$，得-2i+a（1+i）+b=3-3i，…（2分）

即（a+b）+（a-2）i=3-3i，所以$\left\{{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{a-2=-3}\end{array}}\right.$，解得a=-1，b=4；   …（6分）

（Ⅱ）由（1）知，b=4．所以f（x）=|2x+1|-|x-4|＞2…（7分）

令y=|2x+1|-|x-4|，则$y=\left\{\begin{array}{l}-x-5，x≤-\frac{1}{2}\\ 3x-3，-\frac{1}{2}＜x＜4\\ x+5，x≥4\end{array}\right.$…（10分）


作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，它与直线y=2的交点为（-7，2）和$（{\frac{5}{3}，2}）$．…（1分）
所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集为$\{x\left|{x＜-7或x＞\frac{5}{3}\}}\right.$…（12分）
注：用零点分区间法相应给分．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，数形结合的应用，复数的基本运算，考查计算能力以及作图能力．